有理数无理数的由来（有理数和无理数的由来与发展）
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摘要预览：
为什么把有理数又叫做无理数?
1、于是有理数无理数的由来，古希腊人把有理数视为连续衔接有理数无理数的由来的那种“算术连续统”的设想彻底的破灭有理数无理数的由来了。
2、因为有理数集与有理数是两个不同的概念。有理数集是元素为全体有理数的集合，而有理数则为有理数集中的所有元素。 有理数为整数和分数的统称。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
3、有理数为整数(正整数、0、负整数)和分数的统称，不是有理数的实数称为无理数。有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。整数也可看作是分母为一的分数。
4、有理数是整数和分数的统称。无理数是所有不是有理数的实数。(3)范围区别有理数无理数的由来：有理数集是整数集的扩张，在有理数集内，加法、减法、乘法、除法(除数不为零)4种运算均可进行。
自然数,整数,有理数,实数之间的关系?
1、实数包括有理数和无理数，无理数就是无线不循环小数。有理数包括整数和分数。整数包括正整数，负整数，零。自然数包括正整数，零。
2、自然数：零和正整数。整数：正整数，负整数和零。有理数：整数和分数统称为有理数。实数：有理数和无理数统称为实数。从这些定义可以看出，每后一个数的集合都包含前一个数的集合。
3、实数分为有理数和无理数两部分 有理数分为整数和分数（又称小数，但是只包括有限的和无限循环的）.无理数就是无限不循环小数。整数包括自然数和负整数。
4、实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和小数，整数分为负整数、零、正整数，自然数包括零和正整数。
5、常用数集之间的关系如下图所示。正整数集是自然数集的一部分，自然数集是整数集的一部分，整数集是有理数集的一部分，有理数集是实数集的一部分。常用的数集概念：自然数集：所有自然数组成的集合，记作N。
6、有理数包括 正数，负数，0.正数包括正分数正整数。负数包括负分数负整数 或 整数，分数.整数包括正整数负整数，0.分数包括整分数负分数。自然数包括0，正整数。
无理数的发现历史
1、无理数是如何被发现的如下：公元前500年，古希腊毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的弟子希伯修斯（Hippausus）发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的（若正方形边长是1。
2、经过一番刻苦实践，他提出“万物皆为数”的观点：数的元素就是万物的元素，世界是由数组成的，世界上的一切没有不可以用数来表示的，数本身就是世界的秩序。
3、无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。
4、无理数的发现──第一次数学危机 大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为四艺，在其中追求宇宙的和谐规律性。
5、希帕索斯对无理数的发现，既是毕达哥拉斯学派的一大进步，也酿就了学派内部学阀斗争的悲剧古希腊哲学家泰勒斯曾与一群人在金字塔下议论，到底世界是什么。有的说是水，有的说是气。
什么叫做有理数?
1、有理数：整数和分数统称为有理数。注意：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整 数。但是本节中的分数不包括分母是1的分数。
2、有理数指整数可以看作分母为1的分数。正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数（rational number）。有理数的小数部分是有限或循环小数。不是有理数的实数遂称为无理数。
3、有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。整数也可看做是分母为一的分数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
4、有理数定义：有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称 。正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
什么是有理数?什么是无理数?
（2）无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。 简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、√2等。也是开方开不尽的数。
有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。整数也可看做是分母为一的分数。不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，不是有理数的实数称为无理数。有理数的定义及分类 有理数是指两个整数的比。有理数是整数和分数的集合。整数也可看做是分母为一的分数。
有理数和无理数的解释以及举例如下：有理数是可以表示为有限小数或无限循环小数的数，例如1/3=0.333333……就是无限循环小数。所有的整数都是有理数，因为它们都可以表示为分数（如1/2，-3等）。
实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。实数和虚数共同构成复数。
无理数是如何被发现的
这一不可公度性与毕氏学派的万物皆为数即有理数的哲理大相径庭，因此便发现了无理数。
无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现的，具体过程好像当初他们在海上溜达，此人在仔细研究了等边直角三角形后发现如果斜边是整数，直角边不可能表示成两个整数的商的形式，就是说分母既不能使奇数，也不能使偶数。
他们处死了发现这个数的学生，但这抹杀不掉无理数的存在，越来越多的无理数被发现。由于无理数的算术性质非常神秘，希腊人认为，最好完全回避采用数字的表达形式，而全神贯注于通过简明的几何体来表达量。
他们渐渐明白了，明白了直觉并不是绝对可靠的，有的东西必须靠证明；他们明白了，过去他们所认识的数字0、自然数等有理数之外，还有一些无限的不能循环的小数，这确实是一种新发现的数——应该叫它“无理数”。
小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。
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